多维破产问题的对偶性

我们考虑一个 $d$ 维保险网络，其初始资本为 $a\in\R^d_+,$ 在风险分散协议下运行；这通过 $\R^d_+$ 中具有反射矩阵 $R$ 的 Skorokhod 问题用受控随机游动 $\{Z^{(a)}_n\}$ 来描述；$\{Y^{(a)}_n\}$ 表示相应的推动过程。$\{Z^{(a)}_n\}$ 的（强意义下的）破产定义为每家公司的边际赤字在某个时刻 $n$ 为正（因而盈余为零）。通过在有限时间区间上对样本路径进行时间反转，引入了一个对偶存储网络；其随机类比同样是 $\R^d_+$ 中从 $0$ 出发的受控随机游动 $\{W_n\}$。结果表明，即使在样本路径层面，$\{Z^{(a)}_n\}$ 的破产也对应于 $\{W_n\}$ 在触及 $\R^d_+$ 边界之前命中由 $R^{-1}a$ 确定的开上象限。在自然假设下，我们证明了 $\P($ $\{Z^{(a)}_n\}$ 在有限时间内破产$)$ $=\lim_{n\r\iy}\P(W_n\gg R^{-1}a: n<$ 存储过程的边界命中时间$)$ $=\lim_{n\r\iy}\P(Y^{(0)}_n \gg R^{-1}a:\Delta Y^{(0)}_n\gg 0)$。我们定义了 $d$ 维阶梯高度分布的概念，并导出了 Pollaczek-Khinchine 公式；给出了阶梯高度分布的表达式。我们的方法适用于连续时间 $d$ 维 Cramer-Lundberg 型网络的破产问题，其中各公司在无协议时独立运作。