多站点几何重置随机游走中的谱色二元性与复位中性分布

我们研究了在 $\{0,1,\dots,a\}$ 上的偏向随机游走的赌徒破产问题，采用多站点几何重置：在每个时间步，行者以概率 $\gamma\in(0,1)$ 被重置到从分布 $\pi$（在 $m$ 个内部站点上）随机抽取的随机位置。利用续期理论，我们推导了破产概率 $q_z(\gamma)$ 的精确闭式表达式，表明 $\pi$ 的影响完全编码在单个标量量中，即耦合常数 $C(\pi,\gamma)=\bar{u}_\pi/\bar{s}_\pi$。通过 Doob 对称化进行谱分析揭示了该耦合的结构。我们的主要结果是——适用于任何接受谱分解的吸收马尔可夫链——是否存在一种复位中性分布 $\pi^*$ 使得 $C(\pi^*,\gamma)$ 独立于 $\gamma$ 的一般性准则。这在以下谱二元性条件下成立：存在一种关于重置站点的不变映射 $\sigma$ 和 $\nu$-独立的权重 $\kappa(z)$，使得 $B_\nu(z) = \kappa(z)\,A_\nu(\sigma(z))$ 对所有谱模 $\nu$ 均成立。当此条件满足时，不变值为 $C^* = q_{a/2}^{(0)}$，即从中点处的经典破产概率，独立于对称重置站点的选择或重置速率。对于偏向随机游走，该条件化简为几何对称性 $z_i + z_i' = a$。该结果适用于任意 $a$、任意重置站点数 $m$，以及任意偏向 $p\in(0,1)$。无论是 analytical 还是蒙特卡洛模拟，都在高精度下确认了该理论，包括对谱中性站点的测试。数值结果还揭示了重置分布空间中一种类相位结构，$\pi^*$ 充当单调规律之间的分离超平面。