重置随机游走者访问的不同位点数目

我们研究了在 $d$ 维超立方晶格上，重置概率为 $p$ 的 $n$ 步重置随机游走者所访问的不同位点数目 $V_p(n)$。在 $p=0$ 的情况下，我们恢复了众所周知的结果：对于大 $n$，当 $d<2$ 时，平均不同位点数目增长为 $\langle V_0(n)\rangle\sim n^{d/2}$；当 $d>2$ 时，增长为 $\langle V_0(n)\rangle\sim n$。对于 $p>0$，我们证明 $\langle V_p(n)\rangle$ 增长极其缓慢，为 $\sim \left[\log(n)\right]^d$。我们观察到，标准随机游走（无重置）在 $d=2$ 处的常返-暂态转变在存在重置时消失。在极限 $p\to 0$ 下，我们计算了两个区域之间的精确交叉标度函数。在一维情况下，我们解析地推导了 $V_p(n)$ 在大 $n$ 极限下的完整分布。此外，对于一维随机游走者，我们引入了一个新的可观测量，我们称之为不平衡度，它衡量访问区域围绕起始位置的对称程度。我们分别解析计算了 $p=0$ 和 $p>0$ 时不平衡度的完整分布。我们的理论结果得到了广泛数值模拟的验证。