干净图的 Sombor 指数

设 $G = (V, E)$ 为一个图，其顶点集为 $V(G)$，边集为 $E(G)$。$G$ 的 Sombor 指数 $SO(G)$ 定义为 $\sum_{uv\in E(G)} \sqrt{\deg(u)^2 + \deg(v)^2}$，其中 $\deg(u)$ 为顶点 $u$ 在 $V(G)$ 中的度数。环 $R$ 的干净图记作 $Cl(R)$，其顶点集为 $\{(e, u) : e \in \mathrm{Id}(R), u \in U(R)\}$，两个不同顶点 $(e, u)$ 与 $(f, v)$ 相邻当且仅当 $ef = 0$ 或 $uv = 1$（其中 $\mathrm{Id}(R)$ 和 $U(R)$ 分别为 $R$ 的幂等元集和单位元集）。在 $\{(e, u) : e \in \mathrm{Id}^{*}(R), u \in U(R)\}$ 上的诱导子图记作 $Cl_2(R)$。本文研究了不同正整数 $n$ 取值时 $SO(Cl_2(\mathbb{Z}_n))$ 的值。