关于图 Sombor 指数一个猜想的证实

设 $G$ 为具有顶点集 $V(G)$ 与边集 $E(G)$ 的图。图 $G$ 的 Sombor 指数与约化 Sombor 指数分别定义为 $SO(G)=\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{deg_G(u)^2+deg_G(v)^2}$ 与 $SO_{red}(G)=\sum_{uv\in E(G)}\sqrt{(deg_G(u)-1)^2+(deg_G(v)-1)^2}$。记 $H_{n,\nu}$ 为从星图 $S_n$ 出发，在一个固定悬挂顶点与 $\nu$ 个其他悬挂顶点之间添加 $\nu$ 条边 $(0\leq \nu\leq n-2)$ 所构造的图。R\'eti 等人 [T. R\'eti, T. Do\v{s}li\'c and A. Ali, On the Sombor index of graphs, $\textit{Contrib. Math. }$ $\textbf{3}$ (2021) 11-18] 提出猜想：在所有阶为 $n$ 的连通 $\nu$-圈图中，$H_{n,\nu}$ 具有最大 Sombor 指数，其中 $5\leq \nu \leq n-2$。本文我们确认前述猜想为真。并也表明该猜想对约化 Sombor 指数成立。同时还研究了图的 Sombor、约化 Sombor 与第一 Zagreb 指数之间的关系。