解决欧拉Sombor指数的开放问题

最近，欧拉Sombor指数（$EUS$）作为一种新颖的基于度的拓扑指数被引入。对于图$G$，欧拉Sombor指数定义为$$EUS(G) = \sum_{v_i v_j \in E(G)} \sqrt{d_i^2 + d_j^2 + d_i d_j},$$其中$d_i$和$d_j$分别表示顶点$v_i$和$v_j$的度。最近，Khanra和Das [Euler Sombor index of trees, unicyclic and chemical graphs, \emph{MATCH Commun. Math. Comput. Chem.} \textbf{94} (2025) 525--548] 提出了几个关于欧拉Sombor指数的开放问题。本文完全解决了其中两个最具挑战性的问题。首先，我们确定了在所有固定阶数和指定围长的单圈图中$EUS$指数的最小值，并刻画了达到该最小值的极图。基于这一结果，我们进一步在相同阶数和围长的连通图更广泛的类别中建立了最小$EUS$指数，并识别了相应的极值结构。此外，当阶数和叶子数都固定时，我们对达到最大欧拉Sombor指数（$EUS$）的所有连通图进行了分类。