带源项与双障碍势的二维非等温 Cahn-Hilliard 系统的最优温度分布

在本注记中，我们研究一类非等温 Cahn-Hilliard 型相场系统的最优控制，该系统构成具有守恒序参量的经典 Caginalp 非等温相变模型的推广。它将带源项的 Cahn-Hilliard 型序参量方程与内能的普遍平衡律相耦合。以标准傅里叶形式替代，热通量的本构律假定为 Green 与 Naghdi 所发展理论给出的形式，其考虑了演化的可能热记忆。这导致内能平衡律变为关于热位移或冻结指数（即温度对时间的原函数）的二阶时间方程。我们系统的另一特征是序参量方程中源项的存在，这带来了进一步的数学困难，因为序参量的质量守恒不再满足。我们研究驱动相变演化的双阱势由不可微双障碍势给出的情况，从而补充了近期针对可微正则势与对数势情形所获得的结果。我们导出该控制问题的一阶必要最优性条件。分析通过所谓的深淬灭近似进行，其中不可微双障碍势由一族对数势近似，而对后者存在有意义的一阶必要最优性条件。由于对数势的结果关键依赖于所谓严格分离性质的有效性（该性质仅在空间二维情形下可用），我们的整体分析限于二维情形。