高阶 Cahn-Hilliard 方程与 Brinkman 方程耦合的最优控制

在本工作中，我们研究 Brinkman 方程与六阶 Cahn-Hilliard 方程耦合的最优控制。Cahn-Hilliard 方程配备了考虑质量交换的源项，速度方程包含非无散强迫项，作为分布控制变量。我们考虑上述系统具有常迁移率、粘度和双阱形状的非线性项是正则的。最优控制问题的代价泛函包含一个不可微项，如带有稀疏常数 $\kappa$ 的 $L^1$-范数，这导致最优控制的稀疏性。我们研究了 $\kappa=0$ 和 $\kappa>0$ 两种情况的一阶必要最优性条件。当代价泛函可微时，一阶必要最优性条件由拉格朗日乘子法刻画，对于不可微情况，我们使用了 Casas 和 Tröltzsch 在论文（Math. Control Relat. Fields, 10(3):527-546, 2020）中提出的思想。