具有质量源、不匹配粘性与奇异势的 Cahn-Hilliard-Darcy 系统的最优分布控制

我们研究一个带有质量源的 Cahn-Hilliard-Darcy 系统，其可被视为肿瘤生长演化的一个基础但简化的扩散界面模型。该系统配备有（体积）平均速度 $\mathbf{u}$ 的不透条件，以及相函数 $\varphi$ 和化学势 $\mu$ 的齐次 Neumann 边界条件。对流 Cahn-Hilliard 方程中的源项包含一个控制 $R$，在应用中可视为例如药物或营养素。我们的目标是研究二维情形下具有跟踪型代价函数的分布最优控制问题。在具有不匹配二元流体混合物粘性与奇异势的物理相关情形中，我们首先证明全局强解的存在唯一性，且 $\varphi$ 与纯相 $\pm 1$ 严格分离。该适定性结果使我们能够刻画控制到状态的映射 $\mathcal{S}:R \mapsto \varphi$。然后我们得到最优控制的存在性、$\mathcal{S}$ 的 Fr\'{e}chet 可微性，以及通过伴随变量的合适变分不等式表达的一阶必要性最优条件。最后，我们证明控制到协态算子的可微性，并建立严格局部最优性的二阶充分条件。