非局部 Cahn-Hilliard 肿瘤生长模型的极大正则性与最优控制

我们考虑一个相场型的非局部肿瘤生长模型，描述在营养物质存在下肿瘤细胞通过增殖的演化。该模型由一个耦合系统组成，包含用于肿瘤相变量的非局部 Cahn-Hilliard 方程和用于营养物质的反应扩散方程。首先，通过在加权 $L^p$ 空间中应用极大正则性理论，我们为该模型建立了新的正则性结果。这一技术使我们能够证明正则解的局部存在性与唯一性，包括趋化效应。通过利用时间正则化性质和全局有界性估计，我们进一步将该解延拓为全局解。这些结果为处理一个最优分布控制问题奠定了基础，该问题旨在确定合适的疗法以引导肿瘤达到预定的目标。具体而言，我们证明了最优疗法的存在性，并通过研究控制到状态映射的 Fréchet 可微性以及引入伴随系统，导出了一阶必要最优性条件。