具有退化迁移率与奇异势的二维非局部 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系统的最优分布控制

本文考虑一个二维扩散界面模型，用于描述密度匹配的非压缩等温二元流体混合物的相分离。该模型由 Navier--Stokes 方程与非局部对流 Cahn--Hilliard 方程非线性耦合而成。系统支配混合物体积平均流速 $\uvec$ 与两相（相对）浓度差 $\varphi$ 的演化。本工作的目标是研究此类系统的最优控制问题，控制量为作用于流体的时变外力。我们首先证明了对给定跟踪型代价泛函存在最优控制。随后研究控制-状态映射 $\vvec \mapsto [\uvec,\varphi]$ 的可微性，并建立一阶必要性最优条件。这些结果推广了第一与第三作者同 E.~Rocca 在 [19] 中获得的结果。该文中作者假设了常数迁移率与具有多项式控制增长的常规势。此处我们分析物理上更相关的退化迁移率与奇异（如对数）势情形。这得益于作者与 C.\,G.~Gal 在 [14] 中近期证明的唯一强解的存在性。