具有对数势的粘性 Cahn-Hilliard 系统稀疏最优控制的最优性条件

本文研究了具有零 Neumann 边界条件的粘性 Cahn-Hilliard 型抛物型初边值问题的最优控制。此类相场系统支配着具有守恒序参数的扩散相变过程的演化。假设驱动空间域内物理过程的非线性函数是对数型的双势阱势，其导数在各自定义域的边界处变为奇异。过去已对此类系统的最优控制问题进行了研究。我们此处关注最优控制问题的代价泛函包含不可微项（如 L1-范数）的情况，这会导致最优控制的稀疏性。针对此类情况，我们建立了局部最优控制的一阶必要和二阶充分最优性条件。在二阶充分条件的方法中（这是本文的主要创新点），我们采用了 E. Casas、C. Ryll 和 F. Tr\"oltzsch 在论文 [SIAM J. Control Optim. 53 (2015), 2168-2202] 中引入的技术。在本文中，我们展示了该方法也可以成功应用于具有对数非线性的粘性 Cahn-Hilliard 型系统。由于 Cahn-Hilliard 系统对应于四阶偏微分方程，而此前研究的是二阶系统，因此必须克服额外的技术困难。