非粘性Cahn-Hilliard系统稀疏最优控制的二阶最优性条件
摘要
本文研究了具有零Neumann边界条件的经典非粘性Cahn-Hilliard系统初边值问题的最优控制。这类相场系统控制具有守恒序参量的扩散相变过程的演化。过去已经研究了此类系统的最优控制问题。我们关注的是最优控制问题的代价泛函包含一个增强稀疏性的不可微项（如L1范数）的情况。对于这种情况，我们建立了局部最优控制的一阶必要条件和二阶充分最优性条件，其中在二阶充分条件的方法中，我们采用了E. Casas, C. Ryll和F. Tröltzsch在论文[SIAM J. Control Optim. 53 (2015), 2168-2202]中引入的技术。本文的主要新颖之处在于，这种方法最近已成功应用于粘性Cahn-Hilliard型系统，现在也可以适用于经典的非粘性情况。由于在无粘性情况下，状态和伴随系统的解比粘性情况规则性差得多，因此必须克服许多额外的技术困难，并施加额外的条件。特别是，我们必须限制在驱动相分离的非线性是正则的情况，而在存在粘性项的情况下，也可以允许对数类型的非线性。此外，在粘性情况下用于建立控制到状态算子所需可微性性质的隐函数定理不适用于我们的情况，必须用其他论证代替。
引用
@article{arxiv.2406.02384,
title = {Second-order optimality conditions for the sparse optimal control of nonviscous Cahn-Hilliard systems},
author = {Pierluigi Colli and Jürgen Sprekels},
journal= {arXiv preprint arXiv:2406.02384},
year = {2024}
}
备注
40 pages. The key words are: Cahn-Hilliard equation, optimal control, sparsity, first- and second- order optimality conditions. The results contained in this paper can be compared with the corresponding ones in the paper arXiv:2402.18506. arXiv admin note: substantial text overlap with arXiv:2402.18506