含质量项控制的 Cahn-Hilliard-Oono 系统的适定性与最优控制

本文研究 $\mathbb{R}^d$($1\leq d\leq 3$)中 Cahn-Hilliard-Oono 系统的最优分布控制问题,控制位于质量项中,并容许包含正则势与某些奇异势情形的一般势。论文第一部分关注相变量对控制变量的依赖关系。在对数势情形下,我们需要证明一个特定的严格分离性质,为此必须将自身限制在 $d = 2$ 的情形。在余下的工作中,我们研究必要的一阶最优性条件,至少在势具有无界域的情形下,在相变量初值与控件时间导数满足适当相容条件时给出了证明。请注意:本文修订版已于 Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S 15 (2022), 2135-2172 发表:作者指出发表版与 arXiv 预印本在公式 (2.21) 中均含一个平凡错误,这导致假设 (2.10) 及其若干出现处相应改动。即,(2.21) 与 (2.10) 分别变为 $\bar \varphi(t) = \bar \varphi_0 e^{-t} + \int_0^t e^{-(t-s)} \bar u(s) \, ds$(对所有 $t\in[0,T]$),以及 $-M - (\bar\varphi_0)^- , M + (\bar\varphi_0)^+$ 属于 $D(\beta)$ 的内部。紧接 (2.21) 后的公式变为 $-M - (\bar\varphi_0)^- \leq \bar \varphi(t) \leq M + (\bar\varphi_0)^+$,且在 (4.20) 中须做类似改动。(2.24) 的首行现由新的 (2.21) 推出。进而,(2.39) 变为 $-(M+ R) - (\bar\varphi_0)^- , (M+ R) + (\bar\varphi_0)^+$ 属于 $D(\beta)$ 的内部。在紧邻 (4.18) 前两行的区间及 (4.18) 本身中须做类似改动。