Muskat方程的大时间衰减估计

我们证明了2维和3维Muskat方程解的时间衰减。在\cite{JEMS}和\cite{CCGRPS}中，作者引入了范数 $\|f\|_{s}(t)= \int_{\mathbb{R}^{2}} |\xi|^{s}|\hat{f}(\xi)| \ d\xi$ 以证明Muskat问题解的整体存在性。在本文中，对于3维Muskat问题，给定初始数据 $f_{0}\in H^{l}(\mathbb{R}^{2})$ 对某些 $l\geq 3$ 使得 $\|f_{0}\|_{1} < k_{0}$ 对于常数 $k_{0} \approx 1/5$，我们证明了对于 $-d < s < l-1$ 的 $\|f\|_{s}(t)$ 的一致时间有界性，并且假设 $\|f_{0}\|_{\nu} < \infty$ 我们证明了形式 $\|f\|_{s}(t) \lesssim (1+t)^{-s+\nu}$ 对于 $0 \leq s \leq l-1$ 和 $-d \leq \nu < s$ 的时间衰减估计。这些大时间衰减率与线性Muskat方程的最优速率相同。我们也证明了2维中的类似结果。