临界 $L^p$ 框架下可压缩 Navier-Stokes 方程的最优时间衰减估计

等熵可压缩 Navier-Stokes 方程在临界正则性框架下的全局存在性问题已在十五多年前于 [7] 中解决。然而，是否能在一般临界空间及任意维度 d $\ge$ 2 下给出（最优）时间衰减率，一直是一个开放问题。在此我们对该问题给出肯定答案，不仅在 [7] 的 $L^2$ 临界框架中，而且也在 [3, 6, 14] 更一般的 $L^p$ 临界框架中。更确切地说，我们证明在温和的额外衰减假设下——若初始数据的低频部分属于例如 $L^{p/2}(\mathbb{R}^d)$ 则满足该假设——临界全局解的 $L^p$ 范数（实际上是稍强的 $\dot B^0_{p,1}$ 范数）随 t $\rightarrow$ +$\infty$ 以 $t^{-d(1/p - 1/4)}$ 衰减，恰如 A. Matsumura 与 T. Nishida 在 [23] 中针对 p = 2 与 d = 3 且具有高 Sobolev 正则性的解首次观察到的那样。我们的方法依赖于傅里叶空间中精细的时间加权不等式，并可能对流体力学或数学物理中遇到的其他双曲/抛物系统有效。