Mostar 指数的上界估计

Došlić 等人将图 $G$ 的 Mostar 指数定义为 $Mo(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)}|n_G(u,v)-n_G(v,u)|$，其中对 $G$ 的边 $uv$，项 $n_G(u,v)$ 表示 $G$ 中到 $u$ 的距离小于到 $v$ 的距离的顶点数。他们猜想对每个阶为 $n$ 的图 $G$ 有 $Mo(G)\leq 0.\overline{148}n^3$。作为 Mostar 指数的自然上界，Geneson 和 Tsai 隐式地考虑了参数 $Mo^\star(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)}\big(n-\min\{ d_G(u),d_G(v)\}\big)$。对阶为 $n$ 的图 $G$，他们证明 $Mo^\star(G)\leq \frac{5}{24}(1+o(1))n^3$。我们将此界改进为 $Mo^\star(G)\leq \left(\frac{2}{\sqrt{3}}-1\right)n^3$，这在低阶项意义下是最佳可能的。此外，我们证明若 $G$ 的最大度为 $\Delta$，则 $Mo^\star(G)\leq \left(2\left(\frac{\Delta}{n}\right)^2+\left(\frac{\Delta}{n}\right)-2\left(\frac{\Delta}{n}\right)\sqrt{\left(\frac{\Delta}{n}\right)^2+\left(\frac{\Delta}{n}\right)}\right)n^3$。