Mostar 指数与有界最大度

Došlić 等人将图 $G$ 的 Mostar 指数定义为 $Mo(G)=\sum\limits_{uv\in E(G)}|n_G(u,v)-n_G(v,u)|$，其中对 $G$ 的边 $uv$，$n_G(u,v)$ 表示 $G$ 中到 $u$ 的距离小于到 $v$ 的距离的顶点数。对阶为 $n$ 且最大度至多为 $\Delta$ 的图 $G$，我们证明 $Mo(G)\leq \frac{\Delta}{2}n^2-(1-o(1))c_{\Delta}n\log(\log(n)),$ 其中 $c_{\Delta}>0$ 仅依赖于 $\Delta$，$o(1)$ 项仅依赖于 $n$。此外，对至少为 $3$ 的整数 $n_0$ 和 $\Delta$，我们证明存在阶至少为 $n_0$ 的 $\Delta$-正则图 $G$ 满足 $Mo(G)\geq \frac{\Delta}{2}n^2-c'_{\Delta}n\log(n),$ 其中 $c'_{\Delta}>0$ 仅依赖于 $\Delta$。