带标量曲率的面积为与高斯-博内不等式

设 $X$ 为具有“大正”标量曲率的 $n$ 维黎曼流形。本文在多种情形下证明：若 $X$ 在 $(n-2)$ 个方向上“距离意义下”展开，则其在剩余2个方向上“面积意义下”不能大幅“展开”。以下是一个能阐明该思想、我们拟证明的几何透明例子。设 $X= S^2\times \mathbb R^{n-2}$ 上赋予黎曼度量 $g$，使得子流形 \mbox {$\mathbb R_s^{n-2}=s\times \mathbb R^{n-2}\subset X$ 与 $S^2_y= S^2\times y \subset X$} 在所有交点 $$x=(s,y)\in X=\mathbb R_s^{n-2}\cap S^2_y$$ 处相互正交。（其实例为 $g=g(s,y)=\phi(s,y)^2ds^2+\psi(s,y)^2dy^2$。）设由 $(X,g)$ 诱导于 $\mathbb R_s^{n-2}$ 的黎曼度量，即 $g|_{\mathbb R_s^{n-2}}$，对所有 $s\in S^2$ 均大于 $\mathbb R_s^{n-2} =\mathbb R^{n-2}$ 上的欧氏度量。（这被解释为 $g$ 在 $(n-2)$ 个欧氏方向上的“大展开”。）{\sf 若 $g$ 的标量曲率严格大于单位2-球面者，$$Sc(g) \geq Sc(S^2)+\varepsilon=2+\varepsilon, \mbox { }\varepsilon>0,$$ 则只要 $n\leq 7$，}（这很可能非必要）{\sf 存在光滑非收缩球形曲面 $S\subset X$，使得 $$area(S)<area(S^2)=4\pi.$$}（这某种意义上表明 $(X,g)$ 在互补于欧氏方向的2个方向上“面积意义下未大幅展开”。）