齐次紧度量空间中距离的分布

我们提供了一个简单的证明：在任何直径为$D$的齐次紧度量空间中，如果找到相对于某个等距不变 Borel 概率测度在$X$中实现的平均距离$A$，则满足$$\frac{D}{2} \leq A \leq D.$$该结果同样适用于顶点传递图以及紧连通齐次黎曼流形。随后我们对出现极值的情况进行了分类。特别是，任何满足$A=\frac{D}{2}$的齐次紧度量空间都具有严格的对径点性质，这意味着$X$中的距离分布关于$\frac{D}{2}$对称，因此$\frac{D}{2}$既是该分布的均值也是中位数。特别地，我们证明了具有这种严格对径点性质的唯一闭连通正维黎曼流形是球面。