一种具有自由边界极限的肿瘤生长模型的高精度前沿捕捉格式

我们考虑一类在密度依赖压力和细胞增殖共同作用下的肿瘤生长模型，当压力 - 密度关系变得高度非线性时，其奇异极限为自由边界模型。特别是，连接压力 $p$ 和密度 $\rho$ 的本构律为 $p(\rho)=\frac{m}{m-1} \rho^{m-1}$，当 $m \gg 1$ 时，细胞密度 $\rho$ 可能由于沿其支持域边界的尖锐界面压力驱动几何运动而演化其支持域。扩散中的非线性和简并性给数值模拟带来了巨大挑战，更不用说捕捉奇异自由边界极限了。在本文之前，缺乏在 $m\gg 1$ 时数值捕捉前沿传播速度的标准机制。在本文中，我们基于一种新颖的预测 - 校正重构开发了一种数值格式，即使非线性极强也能准确近似前沿传播。我们表明，半离散格式在 $m \rightarrow \infty$ 时自然连接到自由边界极限方程，并且通过适当的空间离散化，全离散格式具有改进的稳定性，保持正性，且无需非线性求解器即可实施。最后，提供了一维和二维的大量数值算例，以验证所声称的性质并展示在各种应用中的良好性能。