有界曲面和的 Heegaard 亏格可加性

设 $M$ 为两个 3-流形 $M_1$ 和 $M_2$ 沿有界连通曲面 $F$ 的曲面和，$\partial_i$ 为包含 $F$ 的 $\partial M_i$ 的分量。若 $M_i$ 具有高距离 Heegaard 分裂，则 $M$ 的任何极小 Heegaard 分裂均为 $M^1$、$M^2$ 和 $M^*$ 的 Heegaard 分裂的 amalgamation，其中 $M^i=M_i\setminus\partial_i\times I$，且 $M^{*}=\partial_1\times I\cup_{F} \partial_2\times I$。此外，一旦 $\partial_i\setminus F$ 均连通，则 $g(M) = Min\bigl\{g(M_1)+g(M_2), \alpha\bigr\}$，其中 $\alpha = g(M_1) + g(M_2) + 1/2(2\chi(F) + 2 - \chi(\partial_1) - \chi(\partial_2)) - Max\bigl\{g(\partial_1), g(\partial_2)\bigl\}$；特别地，当且仅当 $\chi(F)\geq 1/2Max\bigl\{\chi(\partial_1), \chi(\partial_2)\bigr\}$ 时，$g(M)=g(M_1)+g(M_2)$。证明依赖于 Scharlemann-Tomova 定理。