关于Heegaard距离的退化斜率

设$M=H_{+}\cup_{S} H_{-}$是一个亏格为$g$的Heegaard分解，其Heegaard距离为$n\geq \kappa+2$：(1) 设$c_{1}$、$c_{2}$是$\partial_{-}H_{-}$的同一个分支中的两个斜率，使得自然Heegaard分解$M^{i}=H_{+}\cup_{S} (H_{-}\cup_{c_{i}} 2-handle)$的距离小于$n$，则在$\partial_{-}H_{-}$的曲线复形中，$c_{1}$和$c_{2}$的距离至多为$3\mathfrak{M}+2$，其中$\kappa$和$\mathfrak{M}$是Masur-Minsky给出的常数。(2) 设$M^{*}$是通过沿着从$\partial \mathscr{H}$到$\partial_{-} H_{-}$的映射$f$，将一组柄体$\mathscr{H}$附着到$\partial_{-} H_{-}$上得到的流形。如果$f$是一个一般伪Anosov映射的足够大的幂，那么Heegaard分解$M^{*}=H_{+}\cup (H_{-}\cup_{f} \mathscr{H})$的距离仍然是$n$。证明本质上依赖于Masur-Minsky的曲线复形理论。