高距离 Heegaard 分裂的非唯一性

Kevin Hartshorn 证明了如果三维流形 $M$ 容许一个 Hempel 距离为 $d$ 的 Heegaard 曲面 $\Sigma$，则 $M$ 中的每个不可压缩曲面的属至少为 $\frac{d}{2}$。Scharlemann-Tomova 推广了这一结果，证明在此类流形中，$M$ 的每个其他属 $g' < \frac{d}{2}$ 的 Heegaard 曲面都是 $\Sigma$ 的稳定化。在本文中，我们证明了 Hartshorn 的界是紧的，而 Scharlemann-Tomova 的界非常接近紧界。特别是，对于每对整数 $g \geq 2, d \geq 2$，我们构造了一个具有属 $g$、距离 $d$ 的 Heegaard 分裂以及一个属为 $\frac{d}{2}$ 的不可压缩曲面的三维流形 $M$。我们还针对每个 $d \geq 4$ 构造了一个三维流形，其具有属 $g$、距离 $d$ 的 Heegaard 曲面 $\Sigma$ 以及第二个属为 $g' = \frac{1}{2} d + g - 1$ 且不是 $\Sigma$ 的稳定化的 Heegaard 曲面。