Schrödinger-Poisson 方程的保结构松弛 Crank-Nicolson 有限元方法

在本文中，我们提出了一种用于 Schrödinger-Poisson 方程的质量和修正能量守恒的松弛 Crank-Nicolson 有限元方法。仅利用一个辅助变量，我们将 Schrödinger 方程和 Poisson 方程中出现的不同非线性项同时重构为它们的等价表达式，构建了一个与原 Schrödinger-Poisson 方程等价的系统。我们基于该等价系统提出的方案是线性实现的，避免了使用迭代技术来求解非线性方程。此外，该方案是顺序执行的，无需求解耦合的大型线性系统。我们随后严格推导了所提方案的最优误差估计，证明了在时间上具有二阶精度，且在使用最高为 $k$ 次的多项式时在空间上具有 $(k+1)$ 阶精度。数值实验验证了我们方法的准确性和有效性，并突出了其在长时间模拟中的守恒性质。