线性 Schrödinger 方程 Crank-Nicolson 有限元近似的后验误差控制与自适应性
数值分析
2013-04-10 v2
摘要
我们推导了线性 Schrödinger 型方程全离散近似在 范数下的最优阶后验误差估计。在时间离散上采用 Crank-Nicolson 方法，而在空间离散上采用允许随时间变化的有限元空间。估计子的推导基于一种新颖的椭圆重构，该重构导出的估计反映了 Schrödinger 方程的物理性质。最终的估计是利用能量技术和残差型估计子获得的。针对半经典体系中一维线性 Schrödinger 方程的各种数值实验验证并补充了我们的理论结果。数值实现分别在时间与空间上采用了均匀剖分和自适应方法。对于自适应性，我们进一步将现有的时空自适应算法发展并分析至 Schrödinger 方程的情形。该自适应算法大幅降低了计算成本，并为问题的解及可观测量提供了高效的误差控制，尤其是在 Planck 常数取较小值时。
引用
@article{arxiv.1301.4391,
title = {A posteriori error control & adaptivity for Crank-Nicolson finite element approximations for the linear Schr\"odinger equation},
author = {Theodoros Katsaounis and Irene Kyza},
journal= {arXiv preprint arXiv:1301.4391},
year = {2013}
}