麦克斯韦方程组的能量守恒高阶混合有限元离散
摘要
我们研究一类麦克斯韦方程组，其描述电磁场随时间演化，并引入附加的电标量变量以使该系统适用于混合有限元空间离散。我们证明了该麦克斯韦系统变分形式的稳定性与能量守恒。进而讨论两种隐式、能量守恒的时间离散格式：经典的 Crank-Nicholson 格式与一种隐式跳蛙格式。接着我们给出采用这两种时间积分方法的半离散格式的离散稳定性与离散能量守恒。我们进一步证明，对于该麦克斯韦系统全离散，采用上述两种隐式时间离散格式之一且通过协调的 de Rham 有限元空间序列进行空间离散时，误差在时间步长上二次收敛，并依所选取的逼近多项式空间按网格参数的相应多项式幂次收敛。关于 Crank-Nicholson 方法的结果虽已广为人知，但此前未针对此麦克斯韦系统给出证明。据我们所知，我们的隐式跳蛙格式是一种新方法，并为其提供了完整的误差分析。最后，我们利用线性和二次 Whitney 形式在若干二维与三维模型问题上展示计算结果以验证理论断言。
引用
@article{arxiv.2310.20310,
title = {Energy Conserving Higher Order Mixed Finite Element Discretizations of Maxwell's Equations},
author = {Archana Arya and Kaushik Kalyanaraman},
journal= {arXiv preprint arXiv:2310.20310},
year = {2026}
}
备注
In this version, we have added an additional computational example. We have also reorganized our examples to provide a thematic ordering to them. In addition, we fixed minor typographical errors throughout the document. Finally, we made a small change to the equations for the initialization of our implicit leapfrog scheme sot that the proof of Corollary 7.1 will work out correctly