时依赖麦克斯韦方程最优控制的结构保持方法及其在源隐身中的应用
最优化与控制
2026-05-04 v1 数值分析
偏微分方程分析
数值分析
计算物理
摘要
我们发展了针对时依赖麦克斯韦方程的最优控制的结构保持解框架。基于对前向问题弱形式的良好存在性理论，我们首先分析了一个耦合 N\'ed\'elec 与 Raviart--Thomas 有限元元素并采用 Crank--Nicolson 时间步进的前向求解器。该求解器保持 de~Rham 结构，离散地执行高斯定律，严格满足每一步的能量平衡，并在问题数据具有较低正则性假设（由最优控制设置决定）时收敛于弱解。为了控制麦克斯韦系统，我们在安德姆方程中加入电流密度的空间-时间旋度形式作为源项。旋度形式可实现电荷守恒，无需额外约束。我们证明了控制-状态映射的良好存在性与连续性，推导了伴随系统及其对于跟踪型目标函数的梯度表示，并提出一种继承前向求解器结构保持性质的离散优化方案。我们的离散 stationarity 条件与连续情形一致，离散最优控制在网格和时间细化下收敛于连续最优解。我们通过数值求解一系列源隐身模型问题，展示了最优控制公式及相关理论发展的优势。
引用
@article{arxiv.2605.00212,
title = {Structure-Preserving Optimal Control of Maxwell's Equations with Applications to Source Cloaking},
author = {Harbir Antil and Yaw Owusu-Agyemang and Rohit Khandelwal and Jimmie Adriazola and Denis Ridzal},
journal= {arXiv preprint arXiv:2605.00212},
year = {2026}
}