具 Maxwell 定律的线性化可压缩 Navier-Stokes 系统的能控性与可稳性

本文研究区间 $(0, 2\pi)$ 上具有周期边界数据的、围绕常值稳态 $(\rho_s, u_s, 0), \rho_s>0, u_s>0$ 的具 Maxwell 定律的线性化可压缩 Navier-Stokes 系统的控制性质。我们探讨了当时间足够大时，通过作用于任一方程中的局部内控制实现耦合系统的精确能控性。我们也研究了当时间充分大时使用单一控制力实现线性化系统的边界精确能控性。在这两种情形下，我们证明了系统在空间 $L^2(0,2\pi)\times L^2(0, 2\pi)\times L^2(0, 2\pi)$ 中的精确能控性。我们借助 Ingham 型不等式证明观测性不等式，从而建立了精确能控性结果。此外，我们证明若控制作用于整个区域中任一方程，则系统在任意时刻均精确能控。接着，我们证明了相关系统在小时间下的不能控性。进一步，利用 Urquiza 所展示的基于 Gramian 的方法，我们通过边界反馈控制律证明了相应闭环系统以任意给定衰减率实现指数可稳性。