利用单个边界控制的一维正压与非正压线性化可压缩 Navier-Stokes 系统的零能控性

本文在区间 $(0,2\pi)$ 中研究仅使用一个边界控制时，正压与非正压流体线性化可压缩 Navier-Stokes 方程的边界零能控性。我们考虑了两个系统（密度、速度与温度）中控制作用的所有可能情形。这些控制作用于边界，由 $x=0$ 与 $x=2\pi$ 处值的差给出。在此设定下，利用作用于密度的边界控制，我们首先证明了正压与非正压系统分别在空间 $(\dot{L}^2(0,2\pi))^2$ 与 $(\dot{L}^2(0,2\pi))^3$ 中（其中点表示均值为零的函数）于大时间下的零能控性。当控制作用于速度分量时，我们证明了分别在空间 $\dot{H}^1_{\text{per}}(0,2\pi)\times\dot{L}^2(0,2\pi)$ 与 $\dot{H}^1_{\text{per}}(0,2\pi)\times(\dot{L}^2(0,2\pi))^2$ 中于大时间下的零能控性。此外，在这两种情形下，我们证明了这些零能控性结果关于速度/温度情形下初态的正则性以及密度情形下的时间均是尖锐的。最后，对于正压与非正压流体，我们证明了在某些假设下，无论控制作用于密度、速度还是温度，系统在任何时刻均不可能近似能控。