一维线性化可压缩Navier-Stokes系统由单一控制力的边界零能控性

在本文中，我们研究一维线性化（围绕常数 $Q_0>0, V_0>0$ 的 $(Q_0,V_0)$）可压缩Navier-Stokes方程在区间 $(0,1)$ 中的边界零能控性，其中控制函数作用于区间一端的密度或速度分量。我们首先证明，在密度分量上具有Dirichlet边界控制、速度分量上具有齐次Dirichlet边界条件的线性化系统，在 $H^s_{per}(0,1) \times L^2(0,1)$ 中对于任意 $s > 1/2$ 在提供时间 $T > 1$ 时是零能控的，其中 $H^s_{per}(0,1)$ 表示周期函数的Sobolev空间。证明基于求解一个抛物-双曲混合矩问题，为此我们对相关的伴随算子进行谱分析，这是本文主要繁难的部分。作为推论，我们还证明当 $T>1$ 时系统在 $L^2(0,1) \times L^2(0,1)$ 中是可近似能控的。另一方面，假设密度关于时间在两个边界点相等，当通过Dirichlet条件在速度部分施加控制时，我们只能证明当 $T>1$ 时系统在有限余维严格子空间 $\mathcal{H}\subset H^s_{per}(0,1) \times L^2(0,1)$（$s>1/2$）中是零能控的。更精确地，在此情形下我们能够证明相关伴随算子的所有本征函数在高频处是可观测的，而对于低频则难以得出任何结论。我们在本文中证明的一个抛物-双曲联合Ingham型不等式，导出了 $\mathcal{H}^*$ 空间中的可观测性不等式，从而得出能控性结果。关键在于，当控制作用于速度部分时，矩方法并未给出更好的零能控空间。