磁流体方程 Crank–Nicolson 有限元投影方法的最优误差估计

本文提出并分析了一种求解磁流体动力学（MHD）方程的完全离散有限元投影方法。采用修正的 Crank–Nicolson 方法与 Galerkin 有限元方法分别对模型进行时间与空间离散，并对流体对流项及两个耦合项施以适当的半隐式处理。这些半隐式近似导出一个变系数线性系统，其唯一可解性可在理论上证明。此外，我们在 Stokes 求解器中使用了 Van Kan 型 \cite{vankan1986} 的二阶解耦投影方法，该方法基于前一时间层压力梯度计算中间速度场，并通过中间速度场的 Helmholtz 分解强制不可压缩约束。本文从理论上证明了格式的能量稳定性，其中需详细分析解耦 Stokes 求解器。对所提解耦有限元投影格式，在离散 $L^\infty(0,T;L^2)$ 范数下证明了误差估计。数值算例用以阐明理论结果。