非线性 Klein-Gordon 方程长时间动力学指数波积分器的均匀误差界

我们建立了指数波积分器傅里叶拟谱（EWI-FP）方法对于具有三次非线性项的非线性 Klein-Gordon 方程（NKGE）长时间动力学的均匀误差界，该非线性强度由 $\varepsilon^2$ 刻画，其中 $\varepsilon \in (0, 1]$ 为无量纲参数。当 $0 < \varepsilon \ll 1$ 时，该问题等价于具有小初值（以及 $O(1)$ 三次非线性项）的 NKGE 的长时间动力学，而初值（及解）的振幅为 $O(\varepsilon)$。对于直至 $O(1/\varepsilon^{2})$ 时间的 NKGE 长时间动力学，经典数值方法的分辨率和误差界严重依赖于小参数 $\varepsilon$，这在 $\varepsilon \to 0^+$ 时造成严重的数值负担。EWI-FP 方法完全显式、时间对称，并在求解波动方程中具有许多优越性质。通过结合数学归纳法适配能量法，我们严格给出了 EWI-FP 离散化在直至 $O(1/\varepsilon^{\beta})$ 时间（$0 \leq \beta \leq 2$）、网格尺寸 $h$、时间步长 $\tau$ 以及依赖于解正则性的整数 $m_0$ 下的均匀误差界 $O(h^{m_0} + \varepsilon^{2-\beta}\tau^2)$。通过在时间上重新标度，我们的结果可直接推广到振荡 NKGE 的 EWI-FP 方法的误差界与 $\varepsilon$-可扩展性（或网格策略要求），其解在空间和时间上分别以 $O(1)$ 和 $O(\varepsilon^{\beta})$ 的波长传播波，波速为 $O(\varepsilon^{-\beta})$。最后，我们给出了大量数值结果以验证我们的误差估计。