弱非线性非线性Klein-Gordon方程四阶紧致有限差分方法的长时间误差分析

我们给出非线性Klein-Gordon方程（NKGE）长时间动力学的四阶紧致有限差分（4cFD）离散格式，其中非线性强度由 $\varepsilon^p$ 刻画，常数 $p \in \mathbb{N}^+$ 且无量纲参数 $\varepsilon \in (0, 1]$。基于解的生命跨度的分析结果，我们给出了4cFD方法直至 $O(\varepsilon^{-p})$ 时刻的严格误差界。我们特别关注误差界如何显式依赖于网格尺寸 $h$、时间步长 $\tau$ 以及小参数 $\varepsilon \in (0, 1]$，这表明，为在直至 $O(\varepsilon^{-p})$ 的时刻获得“正确”的数值解，4cFD方法的 $\varepsilon$-可扩展性（或网格划分策略要求）应取为：$h = O(\varepsilon^{p/4})$ 且 $\tau = O(\varepsilon^{p/2})$。其空间分辨率能力优于经典二阶中心差分方法。通过在时间上重新标度，它等价于一个振荡NKGE，其解在空间上以 $O(1)$ 波长、在时间上以 $O(\varepsilon^p)$ 波长传播波。直接可得固定时间内振荡NKGE的误差界。最后，提供数值结果以证实我们的理论分析。