弱非线性非线性 Klein-Gordon 方程时域有限差分方法的长时间误差分析

我们建立了具有立方非线性的非线性Klein-Gordon方程(NKGE)长时间动力学的时域有限差分(FDTD)方法的误差界，其中非线性强度由 $\varepsilon^2$ 表征，$0 <\varepsilon \leq 1$ 为无量纲参数。当 $0 < \varepsilon \ll 1$ 时，处于弱非线性状态，该问题等价于具有小初始数据的NKGE，其中初始数据（及解）的振幅为 $O(\varepsilon)$。采用四种不同的FDTD方法对该问题进行离散，并利用能量方法以及非线性截断或数学归纳技术来界定数值近似解，建立了FDTD方法长时间动力学的严格误差界，即误差界在 $O(1/\varepsilon^{\beta})$（$0 \le \beta \leq 2$）的时间之前均有效。在误差界中，我们特别关注误差界如何显式依赖于网格尺寸 $h$ 和时间步长 $\tau$ 以及小参数 $\varepsilon\in (0,1]$，尤其是在 $0 < \varepsilon \ll 1$ 的弱非线性状态下。我们的误差界表明，为了在 $O(1/\varepsilon^{\beta})$ 的时间之前获得“正确”的数值解，FDTD方法的 $\varepsilon$-可扩展性（或网格策略）应取为：$h = O(\varepsilon^{\beta/2})$ 且 $\tau = O(\varepsilon^{\beta/2})$。我们给出了广泛的数值结果以证实我们的误差界，并证明它们是尖锐的。