无质量与非相对论 regime 下 Dirac 方程有限差分方法的误差估计

我们给出四种常用的有限差分方法，并建立无质量与非相对论 regime 下 Dirac 方程离散化的误差界，其中涉及一个与光速成反比的小无量纲参数 $0< \varepsilon \ll 1$。在无质量与非相对论 regime 下，解在空间上运动迅速，在时间上高度振荡。具体而言，传播波在时间上的波长为 $O(\varepsilon)$，而在空间上为 $O(1)$，波速为 $O(\varepsilon^{-1})$。我们采用一种蛙跳、两种半隐式以及一种守恒的 Crank-Nicolson 有限差分方法对一维 Dirac 方程进行数值离散，并严格建立依赖于时间步长 $\tau$、网格尺寸 $h$ 以及小参数 $\varepsilon$ 的误差估计。误差界表明，为在无质量与非相对论 regime（即 $0<\varepsilon\ll1$）下获得“正确”的数值解，所有这些有限差分方法具有相同的 $\varepsilon$ 可扩展性：时间步长 $\tau=O(\varepsilon^{3/2})$，网格尺寸 $h=O(\varepsilon^{1/2})$。我们报告了大量数值结果以验证误差估计。