无磁势非线性 Dirac 方程在非相对论区域时间分裂法的均匀误差界

本文严格分析了 Lie-Trotter 分裂（$S_1$）和 Strang 分裂（$S_2$）在无外磁势的非线性 Dirac 方程非相对论区域（含小参数 $0<\varepsilon\leq 1$，与光速成反比）的超分辨率现象。在该区域，解在时间上高度振荡，波长为 $O(\varepsilon^2)$。分裂方法令人惊讶地展现出超分辨率，即即使时间步长 $\tau$ 远大于采样波长 $O(\varepsilon^2)$，该方法也能精确捕捉解。与线性情形类似，$S_1$ 和 $S_2$ 均表现出关于 $\varepsilon$ 一致的 $1/2$ 阶收敛性。此外，若 $\tau$ 是非共振的，即 $\tau$ 远离由 $\varepsilon$ 确定的特定区域，则 $S_1$ 将给出改进的一致一阶 $O(\tau)$ 误差界，而 $S_2$ 将给出改进的一致 $3/2$ 阶收敛性。报告了数值结果以证实这些严格结果。此外，我们注意到超分辨率对于更高阶的分裂方法仍然有效。