含小势的 Dirac 方程长时间动力学时间分裂方法的改进一致误差界

我们建立了含小电磁势的 Dirac 方程长时间动力学时间分裂方法的改进一致误差界，该小势由一个无量纲参数 $\varepsilon\in (0, 1]$ 刻画，表示势的振幅。我们首先用时间分裂方法对 Dirac 方程进行时间半离散，随后用 Fourier 拟谱方法在空间上全离散。利用二阶时间分裂方法对 Dirac 方程的酉流性质，我们证明了半离散和全离散分别在任意时间 $t\in[0,T_\varepsilon]$（其中 $T_\varepsilon = T/\varepsilon$，$T > 0$）上的一致误差界 $C(t)\tau^2$ 和 $C(t)(h^m+\tau^2)$，这些界对 $\varepsilon \in (0, 1]$ 一致成立，其中 $\tau$ 为时间步长，$h$ 为网格尺寸，$m\geq 2$ 依赖于解的正则性，且 $C(t) = C_0 + C_1\varepsilon t\le C_0+C_1T$ 关于 $t$ 至多线性增长，$C_0\ge0$ 和 $C_1>0$ 为独立于 $t$、$h$、$\tau$ 和 $\varepsilon$ 的两个常数。随后通过采用正则性补偿振荡（RCO）技术，该技术利用解的正则性控制高频模态、利用相位相消和能量方法控制低频模态，我们建立了半离散和全离散直至长时间 $T_\varepsilon$ 的改进一致误差界 $O(\varepsilon\tau^2)$ 和 $O(h^m +\varepsilon\tau^2)$。我们给出了数值结果以验证误差界并表明其为尖锐的。同时还提供了 Dirac 方程不同时间离散化精度的比较。