非相对论 regime 下狄拉克方程时间分裂方法的超分辨

我们在无外磁场势、小参数$0<\varepsilon\leq 1$与光速成反比的非相对论极限regime下，建立了狄拉克方程的Lie-Trotter分裂（$S_1$）与Strang分裂（$S_2$）的误差界。在此极限regime中，解传播具有$O(\varepsilon^2)$时间波长的波。令人惊讶的是，我们发现分裂方法展现出超分辨，即打破香农采样定理下的分辨率约束：即便时间步长$\tau$远大于$O(\varepsilon^2)$的采样波长，方法仍能准确捕捉解。$S_1$通过确立两个独立误差界$\tau + \varepsilon$与$\tau + \tau/\varepsilon$，展现出关于$\varepsilon$一致的$1/2$阶收敛。此外，若$\tau$为非共振的，即$\tau$远离由$\varepsilon$决定的某区域，$S_1$将给出改进的一致一阶$O(\tau)$误差界。另外，我们证明$S_2$对于一般时间步长$\tau$一致收敛且速率为$1/2$阶，对于非共振时间步长一致收敛且速率为$3/2$阶。最后，给出数值例子验证我们的发现。