半光滑非线性 Schrödinger 方程时间分裂方法的误差估计

我们建立了带半光滑非线性 $f(\rho) = \rho^\sigma$ 的非线性 Schrödinger 方程（NLSE）的 Lie-Trotter 时间分裂正弦伪谱方法的误差界，其中 $\rho=|\psi|^2$ 为密度，$\psi$ 为波函数，$\sigma>0$ 为半光滑非线性的指数。在 NLSE 的 $H^2$ 解假设下，我们证明了在 $0<\sigma\leq\frac{1}{2}$ 和 $\sigma\geq\frac{1}{2}$ 时分别有 $L^2$ 范数下 $O(\tau^{\frac{1}{2}+\sigma} + h^{1+2\sigma})$ 和 $O(\tau + h^{2})$ 的误差界，以及在 $\sigma\geq \frac{1}{2}$ 时 $H^1$ 范数下 $O(\tau^\frac{1}{2} + h)$ 的误差界，其中 $h$ 和 $\tau$ 分别为网格尺寸和时间步长。此外，当 $\frac{1}{2}<\sigma<1$ 且在 NLSE 的 $H^3$ 解假设下，我们给出了 $H^1$ 范数下 $O(\tau^{\sigma} + h^{2\sigma})$ 的误差界。我们的证明采用了两个关键要素：其一是采用数值流的无条件 $L^2$-稳定性，以避免对 $0 < \sigma \leq \frac{1}{2}$ 情形数值解的事前估计，并建立 $l^\infty$-条件 $H^1$-稳定性，通过数学归纳法及误差估计获得 $\sigma \ge \frac{1}{2}$ 情形数值解的 $l^\infty$ 界；其二是引入正则化技术，以避免半光滑非线性在获得改进局部截断误差时的奇异性。最后，我们给出数值结果来验证我们的误差界。