带波算子的非线性薛定谔方程的指数波积分器正弦伪谱法的统一最优误差估计

我们提出了一种用于求解带波算子的非线性薛定谔方程 (NLSW) 的指数波积分器正弦伪谱 (EWI-SP) 方法，并进行了严格的误差分析。NLSW 是由波算子扰动的 NLS，其强度由无量纲参数 $\varepsilon\in(0,1]$ 描述。当 $\varepsilon\to0^+$ 时，NLSW 收敛于 NLS；对于小扰动情形（即 $0<\varepsilon\ll1$），NLSW 的解与 NLS 的解之差为一个时间振荡函数，其波长为 $O(\varepsilon^2)$，振幅对于非适定初值和适定初值分别为 $O(\varepsilon^2)$ 和 $O(\varepsilon^4)$。这种快速的时间振荡给设计和分析具有关于 $\varepsilon$ 一致误差界的数值方法带来了显著困难。在本工作中，我们证明了所提出的 EWI-SP 方法在 $L^2$ 和半-$H^1$ 范数下，对于适定初值和非适定初值，分别具有 $O(\tau^2)$ 和 $O(\tau)$ 的最优统一时间步长 $\tau$ 误差界，并且在这两种情况下关于网格尺寸 $h$ 均具有谱精度。这一结果显著改进了 NLSW 有限差分法的误差界。我们的方法涉及对误差传播、非线性截断以及能量方法的仔细研究。数值算例证实了我们的理论分析。