非相对论极限区域下 Dirac 方程的一致精确多尺度时间积分拟谱方法

我们针对带有与光速成反比的无量纲参数 $\varepsilon\in(0,1]$ 的 Dirac 方程，提出并严格分析了一种多尺度时间积分 Fourier 拟谱（MTI-FP）方法。在非相对论极限区域，即 $0<\varepsilon\ll 1$ 时，解表现出在时间和空间上波长分别为 $O(\varepsilon^2)$ 和 $O(1)$ 的高振荡传播波。由于快速的时间振荡，设计和分析在 $\varepsilon\in(0,1]$ 上具有一致误差界的数值方法颇具挑战性。我们基于对 Dirac 方程解的多尺度分解的恰当采用，并应用带有合适数值求积的指数波积分器，提出了 MTI-FP 方法。通过对误差传播的细致研究并利用能量方法，我们通过两种不同的数学途径建立了两个独立的误差估计：$h^{m_0}+\frac{\tau^2}{\varepsilon^2}$ 和 $h^{m_0}+\tau^2+\varepsilon^2$，其中 $h$ 为网格尺寸，$\tau$ 为时间步长，$m_0$ 依赖于解的正则性。这两个误差界立即表明，若解光滑，MTI-FP 方法在空间上以指数收敛速度一致且最优地收敛；在时间上，对所有 $\varepsilon\in(0,1]$ 以 $O(\tau)$ 的线性收敛速度一致收敛，并在 $\varepsilon=O(1)$ 或 $0<\varepsilon\lesssim \tau$ 的区域以 $O(\tau^2)$ 的二次收敛速度最优收敛。数值结果被报告以证明我们的误差估计是最优且精确的。最后，MTI-FP 方法被应用于数值研究当 $\varepsilon\to0^+$ 时 Dirac 方程的解向其极限模型解的收敛速率。