小势下 Dirac 方程不同空间离散格式在长时间下的空间分辨率

我们比较了具有小电磁势(由无量纲参数 $\varepsilon \in (0, 1]$ 刻画)的 Dirac 方程在不同空间离散的有限差分方法的长时间误差界与空间分辨率。我们从简单且广泛使用的有限差分时域(FDTD)方法入手,建立了它们的严格误差界,这些误差界在直到 $O(1/\varepsilon)$ 的时间之前有效。在误差估计中,我们特别关注误差如何显式依赖于网格尺寸 $h$、时间步长 $\tau$ 以及小参数 $\varepsilon$。基于这些结果,为了在直到 $O(1/\varepsilon)$ 的时间之前获得“正确”的数值解,FDTD 方法的 $\varepsilon$ 可扩展性(或网格划分策略要求)应取为 $h = O(\varepsilon^{1/2})$ 和 $\tau = O(\varepsilon^{1/2})$。为提高空间分辨能力,我们采用 Fourier 谱方法对 Dirac 方程在空间上离散。所得有限差分 Fourier 伪谱(FDFP)方法的误差界表明,它们在长时间 regime 下表现出均匀的空间误差,并且如 Shannon 采样定理所建议的,在空间上是最优的。我们给出了大量的数值结果以确认误差界并证明它们是紧的。