非相对论极限区狄拉克方程的数值方法及比较

我们严格分析了误差估计，并在数值上比较了用于离散化非相对论极限区狄拉克方程的各种数值方法的空间/时间分辨率，该方程涉及一个与光速成反比的小无量纲参数 $0<\varepsilon\ll 1$。在此极限区，解在时间上高度振荡，即存在波长分别为时间上 $O(\varepsilon^2)$ 和空间上 $O(1)$ 的传播波。我们首先从几种常用的时域有限差分（FDTD）方法入手，通过特别关注误差界如何显式依赖于网格尺寸 $h$、时间步长 $\tau$ 以及小参数 $\varepsilon$，严格得到它们在非相对论极限区中的误差估计。基于误差界，为了在非相对论极限区（即 $0<\varepsilon\ll 1$）获得“正确”的数值解，FDTD 方法在时间步长上具有相同的 $\varepsilon$ 可扩展性：$\tau=O(\varepsilon^3)$。随后我们提出并分析了两种离散化狄拉克方程的数值方法，分别采用傅里叶谱离散化处理空间导数，并结合指数波积分器和时间分裂技术处理时间导数。对这两种数值方法的严格误差界表明，当 $0<\varepsilon\ll 1$ 时，它们时间步长的 $\varepsilon$ 可扩展性改善为 $\tau=O(\varepsilon^2)$。报告了广泛的数值结果以支持我们的误差估计。