非相对论极限区域中非线性Dirac方程数值方法的误差估计

我们提出了几种数值方法，并建立了它们对非相对论极限区域中非线性Dirac方程离散化的误差估计，该区域涉及一个与光速成反比的小无量纲参数 $0<\varepsilon\ll 1$。在此极限区域中，解在时间上高度振荡，即存在时间波长为 $O(\varepsilon^2)$、空间波长为 $O(1)$ 的传播波。我们从守恒的Crank-Nicolson有限差分（CNFD）方法开始，严格建立了其误差估计，该估计显式依赖于网格尺寸 $h$、时间步长 $\tau$ 以及小参数 $0<\varepsilon\le 1$。基于该误差界，为了在非相对论极限区域（即 $0<\varepsilon\ll 1$）获得“正确”的数值解，CNFD方法要求 $\varepsilon$-可扩展性：$\tau=O(\varepsilon^3)$ 和 $h=O(\sqrt{\varepsilon})$。然后我们提出并分析了两种用于非线性Dirac方程离散化的数值方法，分别采用傅里叶谱离散处理空间导数，结合指数波积分器和时间分裂技术处理时间导数。对这两种数值方法的严格误差界表明，与CNFD方法相比，当 $0<\varepsilon\ll 1$ 时，它们的 $\varepsilon$-可扩展性改进为 $\tau=O(\varepsilon^2)$ 和 $h=O(1)$。我们给出了广泛的数值结果以证实我们的误差估计。