非线性色散介质中高频波传播近似改进的误差界

高频波传播通常由非线性 Friedrichs 系统建模，其中微分方程和初始数据都包含小参数 $\varepsilon$ 的倒数，这导致时间和空间中波长与 $\varepsilon$ 成正比的振荡。一个突出的例子是 Maxwell--Lorentz 系统，它是光在非线性介质中传播的成熟模型。在衍射光学中，此类问题必须在长度与 $1/\varepsilon$ 成正比的长时间区间上求解。用标准方法数值近似此类问题的解是无望的，因为传统方法需要极细的时间和空间分辨率，从而导致不可接受的计算成本。一种可能的替代方案是用一个新的偏微分方程组替换原始问题，该方程组更适合数值计算，但仍能产生足够准确的近似。此类模型通常基于\emph{慢变包络近似}或其推广。文献中的结果表明，慢变包络近似的误差为 $\mathcal{O}(\varepsilon)$。然而，在这项工作中，我们证明误差甚至与 $\varepsilon^2$ 成正比，这是一个实质性的改进，并解释了数值实验中观察到的误差行为。对于慢变包络近似的高阶推广，我们将误差界从 $\mathcal{O}(\varepsilon^2)$ 改进到 $\mathcal{O}(\varepsilon^3)$。两个证明都基于对振荡和非振荡误差项之间非线性相互作用的仔细分析，以及由适当投影定义的近似某些“部分”的\textit{先验}界。