时间分裂方法用于长时间（非线性）薛定谔方程的改进一致误差界

我们建立了时间分裂方法用于小势薛定谔方程和弱非线性非线性薛定谔方程（NLSE）长时间动力学的改进一致误差界。对于由无量纲参数 ε ∈ (0, 1] 表示势振幅的小势薛定谔方程，我们利用（二阶）时间分裂傅里叶伪谱（TSFP）方法在 L^2-范数下的酉流性质，证明对任意 T>0 且在长时间 T_ε = T/ε 内一致于 0<ε≤1 的一致误差界 C(T)(h^m + τ^2)，其中 h 为网格尺寸，τ 为时间步长，m ≥ 2 依赖于精确解的正则性，且 C(T) = C_0 + C_1 T 关于 T 至多线性增长，C_0 和 C_1 为独立于 T、ε、h 和 τ 的两个正常数。进而通过引入一种称为正则性补偿振荡（RCO）的新技术，其中高频模态由正则性控制，低频模态由相位相消和能量方法分析，对 m ≥ 3 的 O(ε)-势薛定谔方程建立了在 H^1-范数下直至 O(1/ε) 时间尺度的改进一致误差界 O(h^{m-1} + ε τ^2)，且一致于 ε∈(0,1]。此外，将 RCO 技术推广到 O(ε^2)-非线性强度的三次 NLSE，证明了在 H^1-范数下直至 O(1/ε^2) 时间尺度、一致于 ε ∈ (0, 1] 的改进一致误差界 O(h^{m-1} + ε^2 τ^2)。并讨论了向一阶和四阶时间分裂方法的推广。