弱非线性非线性 Klein--Gordon 方程长时间动力学时间分裂方法的改进一致误差界

我们建立了弱三次非线性非线性 Klein--Gordon 方程 (NKGE) 长时间动力学时间分裂方法的改进一致误差界，其非线性强度由 $\varepsilon^2$ 刻画，其中 $0 < \varepsilon \leq 1$ 为无量纲参数。实际上，当 $0 < \varepsilon \ll 1$ 时，具有 $O(\varepsilon^2)$ 非线性和 $O(1)$ 初值的 NKGE 等价于具有 $O(1)$ 非线性和振幅为 $O(\varepsilon)$ 的小初值的 NKGE。我们首先用二阶时间分裂方法对 NKGE 进行半离散化，随后在空间上通过傅里叶谱方法进行全离散化。采用正则性补偿振荡 (RCO) 技术——该技术通过精确解的正则性控制高频模态，并通过相位相消和能量方法分析低频模态——我们得到了在固定 $T$ 下直至长时间 $T_\varepsilon = T/\varepsilon^2$ 的二阶半离散化和全离散化的改进一致误差界，分别为 $O(\varepsilon^2\tau^2)$ 和 $O(h^m+\varepsilon^2\tau^2)$。还讨论了向高阶时间分裂方法以及振荡复 NKGE 情形的推广。最后，提供了数值结果以确认改进误差界并表明它们是紧的。