非相对论极限下 Klein-Gordon 方程的一致高精度多尺度时间积分器伪谱方法

我们提出并分析了一种用于求解 Klein-Gordon (KG) 方程的多尺度时间积分器傅里叶伪谱 (MTI-FP) 方法，该方程包含一个无量纲参数 $0<\varepsilon\leq1$，其与光速成反比。在非相对论极限区域，即 $0<\varepsilon\ll1$ 时，KG 方程的解传播的波在时间上具有 $O(1)$ 的振幅和 $O(\varepsilon^2)$ 的波长，在空间上具有 $O(1)$ 的波长，这种时间上的高频振荡导致了显著的数值负担。MTI-FP 方法的设计思路是：在每一个时间步对解采用频率多尺度分解 (MDF)，并对 MDF 中针对 $\varepsilon^2$-频率和 $O(1)$-振幅波的具有适定初值的含波算子非线性 Schr\"{o}dinger 方程应用指数波积分器，同时对针对剩余波的具有小初值的 KG 型方程应用该积分器。我们严格建立了 MTI-FP 方法在 $H^2$-范数下的两个独立误差界，分别为 $O(h^{m_0}+\tau^2+\varepsilon^2)$ 和 $O(h^{m_0}+\tau^2/\varepsilon^2)$，其中 $h$ 为网格尺寸，$\tau$ 为时间步长，$m_0\ge2$ 为取决于解正则性的整数。这直接表明：若解光滑，MTI-FP 在空间上以指数收敛率一致且最优地收敛；对于所有 $\varepsilon\in(0,1]$，在时间上以 $O(\tau)$ 的线性收敛率一致收敛；而在 $\varepsilon=O(1)$ 或 $0<\varepsilon\le \tau$ 的区域，则以 $O(\tau^2)$ 的二次收敛率最优收敛。数值结果证实了误差界，并展示了 MTI-FP 方法求解 KG 方程（特别是在非相对论极限区域）的高效性与准确性。