由标量曲率不变量表征的时空

在本文中，我们确定了可由黎曼张量及其协变导数构造的标量多项式曲率不变量完全表征的四维洛伦兹流形类别。我们引入了$\mathcal{I}$-非退化时空度规的概念，这意味着时空度规由其曲率不变量局部确定。通过从黎曼张量及其协变导数确定一组适当的投影算子，我们能够证明在何时时空度规是$\mathcal{I}$-非退化的若干结果（包括代数一般情况和代数特殊情况）。这使我们能够证明我们的主要定理：时空度规要么是$\mathcal{I}$-非退化的，要么是Kundt度规。因此，未被其曲率不变量表征的度规必须具有退化的Kundt形式。然后我们讨论了逆问题，即从给定的一组标量多项式不变量中可以确定底层时空的哪些性质，并给出了一些部分结果。我们还讨论了\textit{强}非简并性和\textit{弱}非简并性的概念。